[转载]自行车为什么不会倒

[转载]自行车为什么不会倒

本博客的第一篇转载文章,转载这篇文章是因为这个问题我也思考了很久(一直被我称为日常生活中最难的物理学问题),而我又写不出这么好的文章,所以只好转载一篇了。


自行车现在是很普通的一种交通工具。据西方文献记载,它最早是一种如图1被称为“好马”(dandy horse)的滑行工具,前进的动力是人的脚在地上行走,还是1817年一位名叫德莱斯(Baron von Drais)的德国人发明的,取得了专利。后来经过许多改进,直到19世纪中叶才发展到现在的模样,不过据《清朝野史大观》记载:“黄履庄所制双轮小车一辆,长三尺余,可坐一人,不须推挽,能自行。行时,以手挽轴旁曲拐,则复行如初,随住随挽日足行八十里。”由此可见,他制造的自行车,前后各有一个轮子,骑车人手摇轴旁曲拐,车就能前进,这是史料最早记载的自行车。可见清朝人黄履庄(1656-?)很早就发明了类似于自行车的装置,而且不是用脚蹬而是由手摇动曲柄前进。
比黄履庄大一岁的清初词人纳兰性德(1655-1685)在他的笔记小说《渌水亭杂识》中有一段记载:“武侯木牛流马,古有言是小车者。西人有自行车,前轮绝小,后轮绝大,以高临下之势。故平地以得自行。或即木牛流马乎。而坎曲折,大费人力也。”可见在清初,西方传教士就已经把当时西方的自行车传到中国来了。这里说由于前轮小后轮大,能够“以高临下”所以平地能够自行的说法,从力学上是没有道理的。这在当时力学学科还不成熟,力学知识也不普及的情形下的一种蒙昧的猜想,是可以理解的。至于说到高低不平的道路上,大费人力,是可以理解的。纳兰性德提到的自行车,大约形如图2或图3,不过用链条传动的自行车,大约要到19世纪末才普遍使用。

图1 “好马”

图2 前轮小而后轮大的自行车

图3 最早有链条传动的自行车
现今,对于一般人来说,骑自行车是轻而易举的事情。早期的研究大多集中注意于如何加速的问题。事实已经证明,它是一种最省力最优秀的非机动交通工具。不过要讲清楚行进中的自行车为什么不倒的问题,即自行车的控制的问题,可不那么简单。这就是所谓的“自行车稳定性”的问题,即有两个轮子支起来的自行车,在行进时为什么居然非常稳当不会倾覆?一百多年来这项研究吸引了许多著名的力学家、物理学家乃至数学家参加,累计发表的有名的论文,包括以英、德、法、俄、意大利等各种语言的论文,在百篇以上,其中还有博士、硕士和学士的毕业论文,特别是1897年法国科学院,还为之设立过一次悬赏(Prix Fourneyron competition)。令人惊异的是,迄今这个问题很难说已经最后解决了,人们还在继续研究。
从1869年英国杰出的力学家、工程师和热力学家兰金(William John Macquorn Rankine,1820-1872)发表了一篇题为《自行车运动的动力学原理》(On thedynamical principles ofthe motion of velocipedes)。是讨论自行车平衡和驾驶的最早的文章。那篇文章只是半定性的讨论,对后人的影响不大。其后,茹斯(G. G. R. Routh)(1899年)、惠普耳(Francis Whipple)(1899年)[1]都相继发表论文。卡法罗(E.Carvallo)(1899-1901年提交了300页的论文,为此获得法国科学院的悬赏。其后,德国著名的物理学家索墨菲(Arnold Sommerfeld)(1910年)、德国著名数学家克莱因(Felix Klein)(1910年)、著名力学家铁木辛科和杨(Timoshenkoand Young)[2]、力学家邓哈托(J. P. Den Hartog)(1948年)都在他们的著作或论文中论及自行车的稳定性问题。在他们之后有更多的人讨论,其中有若干篇学位论文。
在1969年到1970年这一百年间发表的这许多论文,对自行车行驶的稳定性,提出了各种模型,也列出了不同类型的微分方程组。不过其中影响比较大的一种说法,就是自行车前轮的陀螺效应,以至于在许多通俗读物中都以这种观点来解释自行车的稳定性。
对于陀螺效应自行车稳定性的解释。我们简要地来做说明。你拿一枚硬币,让它在平面上滚动,如果起始时刻让它略微倾斜,比方说如图4倾向左侧,你就会发现,它会向倾斜的这方拐弯,当倾斜角变得愈大时,拐弯的曲率也愈大,最后到倾倒为止。

图4 滚动的硬币
现在我们把这个现象从力学上加以分析,倾斜的硬币受一个由作用在中心的重力和地面支撑力所形成力偶的作用,就是在这个力偶作用下硬币滚动才发生拐弯。现在我们把以上滚硬币的情况化归为图5,令图中的圆盘为硬币,它以圆盘的法线为OH,圆盘所受的力矩以力F与支撑处与之方向相反的力,其力矩的大小以M表示。现在用握起来的右手四指的方向表示力矩作用的旋转方向,那么伸直的拇指的方向便是圆盘法线H旋转的方向,也就是说圆盘绕Y轴以角速度ω来旋转,这就是圆盘拐弯所要求的角速度。就是说,旋转圆盘,如果不受外力矩,它会按照惯性,方向不变地转动下去,如果受一个外力矩的作用,它的转动方向会转动,其转动的方向的按照上述右手法则,而且转动的角速度ω的大小是与力矩M的大小成比例的,这就是所说的陀螺效应。
熟悉了以上的结果,我们来讨论陀螺效应如何能够使自行车行驶稳定。设在行进时自行车欲向左侧倾倒,即前轮向左倾斜,这时骑车人操纵把手使前轮向左转,这相当于给前轮一个向左旋转的力矩,在这个力矩作用下,根据右手定则,前轮会由倾斜向直立方向运动。同样如自行车欲向右倾倒,即前轮向右倾斜,这时骑车人通过把手使前轮向右转,这相当于给前轮一个向右旋转的力矩,在这个力矩作用下,根据右手定则,前轮会由倾斜向直立方向运动。由此,自行车自然会稳定地向前行驶。

右手定则

图5 圆盘受力矩的运动示意图
无论从力学原理上来说,还是从骑车人的实际经验来看,以上自行车陀螺效应的解释都是行得通的。所以近百年中,这种观点流行比较普遍,以至于在许多科普书籍中,大半也是介绍这种观点的。不过对于这种看法,也有人提出异议,著名物理学家索墨菲说:“由车轮的构造看出,陀螺效应是很小的。如果要加强陀螺效应,就应当尽可能用重的车轮的边缘和轮胎取代轻的。即便如此,这样弱的陀螺效应对于系统的稳定性才会有少许的贡献。”
除了陀螺效应的解释外,1948年铁木辛科和杨在他们所著的《高等动力学》一书中,还提出了另外一种解释。这就是,当自行车往一侧倾斜时,骑车人就用把手将前轮转向同一侧,由于前轮转了一个角度,自行车的行进就沿着绕倾斜侧的圆周,这时离心力向圆周外,就会把自行车扶正。由这个解释,可以得出结论,自行车的速度愈快,所产生的离心力便愈大。所以自行车行进的速度愈快自行车便愈容易控制。不过,这种解释与人们的经验有点差别。当人们在平地上把一辆自行车推行到一定速度并且撒手,自行车会无控制地稳定地前行一段,这时,即使在中途扰动它一下,它也能够回复稳定。这说明,自行车本身在没有驾驶的条件下便有能够稳定前行的机制。
1970年,在《今日物理》杂志上,英国人大卫·骏斯( David E.H. Jones)发表了一篇文章[3],这篇文章对后来的研究影响很大。文章报道了作者自制了一辆没有前轮陀螺效应的自行车(图6),照样能够稳定地行驶,文章用事实证实了陀螺效应对于自行车行驶的稳定性不是主要的。
骏斯的办法是,在普通自行车前轮边上,再增加一个平行的轮子,这个轮子通过传动与前轮旋转方向相反,旋转速度相同,这样从整体上说就抵消了前轮的陀螺效应。尽管这样,这辆自行车,仍然能够行驶自如没有任何困难。

图6 骏斯的无陀螺效应的自行车
既然陀螺效应不是自行车稳定前行的主要因素。而且即使没有驾驶,在一定速度之下自行车前行也是稳定的,于是就需要寻求新的使自行车稳定的因素。

图7 普通自行车的构造
骏斯最后的结论,是基于我们平常的经验。当我们将自行车直立时,自行车前轮是向前而没有偏转角的。如果我们让自行车倾斜一个角度,相应地,自行车的前轮也就会随之偏转一个角度。这说明,前轮的中心高度是由自行车的倾斜角与前轮的偏转角的函数。在自行车倾斜时,前轮会偏转,以使前轮的重心(即前轮的轮心)取最低的位置。之所以能够这样,是和自行车构造中设计有一个“前轮尾迹”的长度有关。骏斯用计算机计算了前叉点(即过前轮中心水平线与前叉直线部分的延长线的交点)与自行车的倾斜角和前轮偏转角的关系,他称之为“驾驶几何”(steering geometry),有了这个结果,就能够解释自行车行驶的稳定性问题了。
原来当行驶的自行车有一个倾斜角时,自行车的前轮由于有“前轮尾迹”的缘故,会自动向倾斜的一侧产生一个偏转角,由于有这个偏转角,自行车靠转弯的离心力便会扶正。因之即使没有人驾驶,在一定的速度之下,直行的自行车,运动也是稳定的。
骏斯还研究了前轮尾迹为负的情形。这种情形下,自行车是很难于驾驶的。因为当自行车倾斜时,它的自然状态,是前轮向稳定行进所需要的反方向偏转。由此他的结论是自行车的稳定性主要取决于“前轮尾迹”的长度,而陀螺效应只起很次要的作用。所以在设计自行车时,“前轮尾迹”的尺寸,是衡量自行车控制性能的一个很重要的数据。

图8 前轮尾迹为负的情形
至此,你也许认为关于自行车行驶的稳定性问题,应当可以尘埃落定了。其实,事情还在发展,到2011年,五位学者在《科学》杂志上发表了一篇文章[4]。他们论证在既没有陀螺效应也没有前轮尾迹的条件下,自行车照样可以行驶得很稳定。他们通过一个自行车的模拟品进行实验(图9A)。还是增加一个与前轮反转的辅助轮子,以消除前轮的陀螺效应(图9B)。前轮尾迹是一个很小的负值。这样的“自行车”在无人操纵的条件下,照样行驶得很稳定(图9)。他们并且对这个模型进行了理论探讨,列出了方程组,并且讨论了它的稳定行驶范围。他们的研究说明,自行车虽然构造很简单,但在一定的质量分布情形下,实际上是一种能够自动控制其行驶稳定的交通工具。其原因既不是陀螺效应,也不是前轮尾迹,实在是妙不可言。

图9 没有陀螺效应和前轮尾迹的自行车模型
人们探讨自行车的稳定性问题,已经经过了一个半世纪。咋一看来,似乎这样的探讨没有什么实用意义。因为人既然已经能够自由地驾驶自行车,自行车制造也没有提出更多的要求。这样的探求,似乎有一点书呆子的嫌疑。不过,对于真理的探求者来说,如南朝陶弘景所言:“一事不知,以为深耻”。对于未知的事情的寻根问底的精神,正是科学精神所在。另一方面,自行车稳定性问题,一开始就是一个人机系统的控制稳定性的难题。在人类实现机械化的过程中,人与机器、人与汽车、人与火车、人与飞机等等,都有一个控制稳定性的问题,而在所有这些问题中,也许人与自行车的控制问题更具有挑战性。因为它的确看似简单而实际上却很复杂。也正因为如此,在百多年的研究的道路上,异军迭起,新意屡出。迄今,也很难说已经达到尽头,也许在继续探求中,它会在实际应用中开出新的花朵来。


Jim Papadopoulos 花了一辈子的时间琢磨自行车运动中蕴含的数学问题,现在他的工作已经发现了新的苗头。

在波士顿马萨诸塞州,七辆自行车倚靠在Jim Papadopoulos地下室的墙上,自行车上的油漆被擦挂过,轮胎也是扁的。作为婚礼礼物的手工框架覆盖着一丝细尘。“在我搬家的时候,我把我大部分作为研究的自行车都扔掉了,”他说。而那些些保留下来的自行车对他来讲都是意义非凡的。“这些都是我过去骑的。”

Papadopoulos,62岁,他十分痴迷于自行车,一生中大部分时间都在玩弄自行车,时常忽视掉其他事情。当他还是一个在大学读书的少年时他就参加业余比赛,他深陷于其中的乐趣。每一次在骑自行车时,他都在考虑自行车中蕴含的数学奥秘。其中最主要的是:在踩踏板时,到底是什么看不见的力量使自行车保持平衡?为什么一开始操纵向右转自行车会向左方倾斜以及驶向左方?自行车在前进时是怎样靠自己保持平衡而不依靠骑手?

在纽约的一个叫Ithaca的小镇上时,作为一个在康奈尔大学的年轻工程师,他十分痴迷于研究这些问题。但是他并没有发表他的大部分想法,并最终离开了学术界。到20世纪90年代末,他在一家企业操纵机械来制造卫生纸。“最后,如果从来没有人发现你的工作,那它就是毫无意义的”他说。

但后来有人发现了他的工作。在2003年,他来自康奈尔的老朋友,也是他的合作者—–工程师Andy Ruina,给他打了一通电话。一个叫Arend Schwab的荷兰科学家来到他的实验室想重新开始他们这个团队关于自行车稳定性的研究。

“Jim,你得成为这个团队的一员。”Ruina对他说。

两个车轮是合情理的

于是这些研究员们一起继续破解一个长达世纪之久的争论:是什么让没有骑手的自行车靠自己保持平衡,并在《皇家学会会议录》和《科学》上发表。他们试图给500亿美元的全球自行车产业——一个比纯数学更加依赖直觉和经验的产业——带来新的科学高度。他们的研究成果可能会刺激一些必要的创新,如帮助设计师去创造一个新一代的踏板和电动车,使其乘坐起来更稳定,更安全。通过洞察自行车的原理也有转移到其它领域的潜力,比如假肢和机器人的研究。
“每个人都知道如何骑自行车,但几乎没有人知道我们是怎样骑自行车的。”一个在加利福利亚大学研究机械学的工程师Mont Hubbard说道,“纯粹从智力角度来看,自行车的研究是非常有趣的。但它也有实际意义,因为他影响着身边的每一个人。”
那些只会用牛顿运动三大定律来完成项目的工程师的理念是过时的,对于一个机械学家来讲,自行车难题特别有诱惑力。“我们都被困在19世纪,那时数学、物理和工程之间没有任何差异”,Ruina说“自行车仅仅是一个数学问题,只是它碰巧和你见到的某样东西有关而已”。
第一个脚蹬车的专利,也是两轮自行车的前生,要追溯到1818年。自行车的发展在试验和错误中摸索前行,并在二十世纪初便有了它们今天的模样。但是几乎没有人想过它们是怎样工作的以及为什么这样工作。William Rankine,一个苏格兰工程师分析过蒸汽机,在1869年第一个谈论’countersteering’现象,即骑手能通过简单地扭转手柄向右使自行车向左行驶,并让自行车向左倾斜。
倾斜和驾驶之间的联系产生了自行车最奇怪的特征:当自行车滑行时可以靠自己平衡。猛推一个没人骑的自行车时,它会在摇摆中前行,但它通常会恢复它的前进轨迹。在1899年,英国数学家Francis Whipple导出了最早的也是持续时间最长的自行车的数学模型,这个模型可以用来探索自行车的自我稳定的原理。Whipple 模型中的自行车有4个刚体—-两个轮子,骑手的车架和前叉——被两个轴和铰链通过重力作用。
在自行车运动轨迹模型中插入一个对特定自行车的度量,就像逐帧放映的动画。一个工程师可以使用一种称为特征值分析的技术来研究自行车的稳定性,因为这可能是一个飞机设计问题。1910年,依靠这样的分析,数学家Felix Klein 和Fritz Noether参照了理论物理学家Arnold Sommerfeld的关于回转效应——车轮利用旋转走势抵抗倾斜——的贡献。把自行车向左推这时快速旋转的前轮将向左转,自行车有可能保持直立。
1970年4月,化学家以及科普作家David Jones在《今日物理》的一篇文章上驳斥了这个理论。他讽刺道,骑在一系列理论上无法驾驶自行车。Jones 建了一辆在前端有一个反向旋转车轮的自行车,可以有效地消除回转效应。但是在行驶中手不受约束这方面还有点疑问。
这一发现促使他寻找另一种可能存在的力。他对比了自行车的前轮和可以随着运动方向移动的商场购物车的脚轮。自行车的前轮可以像脚轮一样,因为车轮与地面之间的接触点,位于操作轴后面5厘米至10厘米之前的任何地方(见《无人自行车保持直立吗?》)。这段距离被称为“前轮尾迹”。Jones发现如果一个自行车有太长的前轮尾迹将稳定到很难前进。然而,如果前轮尾迹是负的,将是一个“死亡陷阱”,他会在你释放手把的时候的一瞬间让你翻跟头。

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当一个自行车开始摇摇欲坠,他推断,脚轮效应使前端在重心下降的情况下转向,从而保持自行车竖直。对于Jones来说,脚轮的前轮尾迹是自行车自我稳定的唯一解释。在他40年后出版的回忆录中,他认为他的这个发现是他的伟大成就之一。“我现在被誉为现代自行车理论之父,”他说。


这个发现意味着这里没有简单的经验法则能保证这样的自行车易于驾驶。对于Papadopoulos来说,前轮尾迹是有用的,回转效应是有用的,质心也应该是有用的,这都是具有启发性的。最早的框架建造者只是偶然发现一个感觉不错的设计,并在自行车蕴含的知识宇宙中只看到了冰山一角。但他们并没有通过测试其中蕴含的几何原理来改变自行车的设计。

两年后,Ruina不再支持Papadopoulos,除了自行车制造商Murray,就仅仅得到了两个人,Dahon和Moulton的唯一的行业捐赠。他们是小轮自行车的制造商—–也许是因为这种自行车非常规的设计让他们难以驾驶。Ruina 开玩笑说他应该改名为“折叠自行车研究项目”。这是jiao xing 架下的幽默(面临大难时的幽默)。

虽然Papadopoulos在自行车研究的数学方面取得进展,他作为第一作者只发表过一篇与该主题相关的论文。“我找到了很多令人愉快的新发现然后成功地发展其中的细节。详细地写出来却很无聊。”他说。没有钱和出版物,他在自行车研究中的时间大大减少了。

在2001年,MIT工程师也是第一台现代自行车发明者David Wilson邀请了Papadopoulos 合作了第三版的“自行车科学”。债务和家庭责任使Papadopoulos应接不暇。 他没有把第一章发给 Wilson,也停止了回复电子邮件。 Wilson感觉被背叛了,“他是一个很聪明的家伙,” Wilson说,“但是他总是不能完完整整做完一件事。”Papadopoulos 说,他完整地完成了工作,但他多花费了两年,部分是由于离婚带来的过重的压力。
重返自行车研究
在康奈尔, Ruina继续前进。他将团队对自行车的见解应用到了一个新的领域:机器人。如果自行车能够在没有控制系统的情况下表现出这种优雅的稳定性,他推断,这有可能设计出一种拆卸式步行机来完成相同的事。在1998年,他与荷兰代尔夫特理工大学Schwab的研究生Martijn Wisse合作,建立了一个双足行走的机器人,可以在没有电机的情况下沿着轻微的斜坡行走,并将能量存储在摇摆臂中。只需添加一些电动机就产生了一个能够在水平地面上行走的节能机器人。
在2002年,Schwab决定与 Ruina一起度过他的公休假,他们开始讨论老式自行车的运行。那时 Ruina叫上了Papadopoulos并支付他来访问的费用。“这是我第一次见到这个天才”Schwab 说。
“一旦你有自动自行车,你可以做很多疯狂的实验”
随着越来越多的自行车行驶在路上,Schwab难以想象居然没有人发表正确的自行车方程组,或者把方程应用到自行车的设计挑战上。在一年内,他和现在在荷兰的特文特大学的工程师Jaap Meijaard独立得出了他们自己的方程,并发现与Papadopoulos的完全一致。他们在韩国的一个工程会议上提出了这些最佳的方程。四个合作者共同发表了这些公式。
现在的挑战是证明它不仅仅是一个数学发现。Schwab和一个学生花了一年的时间制造了一个有着一个极小负向前轮尾迹,能够自我稳定的自行车。看起来像剃须刀,滑板车和跷跷板的后代。他把重心斜置到前轮的前面,然后用一个反向旋转的轮去抵消回转效应。在自行车靠惯性滑行的视频中,你可以看见他倾斜然后猛然转向右,但它又很快自己恢复平衡。实验证明,Papadopoulos对于导致自行车稳定或不稳定因素的解释是正确的。
然而,在等待了30年之后,他的发现才引起了大量读者注意。Papadopoulos感到很气馁。“它没有按照我的想象改变任何事”他说。今年的自行车架看起来跟去年没什么两样。“人们仍然因循守旧,”他说。然而,其他的研究人员已经被拉进了该组织的轨道,引起了足够大的势头,使他们得以在2010年发起一个自行车和摩托车动力学会议。来自世界各地的修补匠聚集到一起,其中一些人也建立了形状怪异的自行车用来测试设计原理。
今年会议的组织者之一,加利福尼亚大学戴维斯分校的工程师Jason Moore试图探索自行车车架几何形状与手把的客观测量—-它操作的容易性。这项工作的是受大量对飞行员的研究所启发。Moore创造了一个仿人类控制的模型,通过在自行车转向装置的检测器上装备传感器,来执行在自行车上的各种倾斜和速度方面的演习。为了强迫自己平衡并且仅靠掌握方向盘运动来行驶(而不是靠改变他的重量),他不得不通过穿上刚性的上半身安全带来把自己束缚在自行车上。这项研究确认了存在已久的假设——自行车的手把越稳定越好,这间接给框架建造者提供了一个方法来优化他们的设计。
它也带来了一个谜题:转向装置转矩所需的是Whipple自行车模型所预言的两倍或三倍。这可能是由轮胎的摩擦和弯曲引起的,而这些在模型中并没有考虑,但没有人能肯定。为了进一步的测试,Moore和他的同事建立了一个可以平衡自己的机器人自行车。“一旦你有机器人自行车,你可以做很多疯狂的实验,而不必把实验员推入危险之中。”他说。(他早期处理的实验之一需要他用一根木条从一旁猛击来重新保持平衡。)不像许多其他无人驾驶的自行车机器人,它不需使用内部陀螺仪来保持直立,但依赖于独立的转向装置。Moore把这个问题丢给了Schwab进行进一步研究。
如今,Schwab拥有Papadopoulos一直梦想的那种实验室,而Papadopoulos也很感激能够合作。“这是你可以想象的最美妙的事情。”他说。Schwab的其他项目包括“线控转向”自行车,能够让他分离操舵运动和平衡机制;“转向辅助”自行车,可在低速保持稳定。他也发现了一个后方转向的斜躺车(一种可躺卧蹬骑的自行车),显示了自我稳定性,其中一部分利用了增大前轮来增强回转效应。后方转向的斜躺车的主要优点是,它比标准的斜躺车拥有更短的链条,这将导致更高效的能量传递。“以前人们试图建造它们,但它们无法驾驶。”Schwab说。
Papadopoulos现在在波斯顿东北大学有一个教职,他现在正重新适应学术界的生活。他与人合作,检验一些思索良久的想法,关于为什么一些自行车在高速行驶中会摆动。他相信他可以用一个阻尼器通过“吸收”座椅中的震动来消除因为速度导致的摆动。他和他的新同事以及学生正在涉及其他类型的问题,并不是所有的问题都与自行车相关。
在他的地下室,Papadopoulos打开棕色文档储藏柜的抽屉,开始浏览那些起皱的马尼拉纸做的文件夹上的有标签的注释,如同“轮胎压力”、“生物力学”和“康奈尔”。他拿出一本教科书“运动生理学?我从来没有真正了解它。”他说,他把它抛到一边。在抽屉的底部,他找到一个厚厚的有关自行车研究想法的文件夹,上面标记为“未完成”。
Papadopoulos思索了一秒,然后进行了修改:“大部分未完成”。

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